Определение оптимального состава и параметров сложной системы упаковочной техники относится к задачам структурно-параметрического синтеза систем. Это многоуровневые, многошаговые математические задачи оптимизации.

Первый уровень состоит в выборе цели и технической идеи (принципа действия) создаваемой производственной системы.

На втором уровне осуществляется поиск оптимального состава и наилучшей структуры сложной производственной системы в рамках выбранной технической идеи и принципа действия.

Третий уровень заключается в оценивании параметров и обосновании выбора наиболее эффективного варианта (объекта) технического решения из множества имеющихся.

Задачи первого уровня обычно решаются эвристическими методами, с помощью построения допустимого множества — каталога принципиально возможных типов объектов упаковочной техники, входящих в состав создаваемой производственной системы. Основным результатом решения задачи на этом уровне является формулирование требований к параметрам и принципам функционирования отдельных объектов, составляющих структуру сложной упаковочной системы.

Задача второго уровня — структурный синтез — заключается в выборе подсистем, комплектующих сложную производственную систему. Задачи структурного синтеза являются наиболее сложными в плане формализации. Сложность формализации обусловлена большим количеством факторов, влияющих на свойства и параметры оптимизируемых структур и в большой размерности задач при необходимой детализации описания оптимизируемых структур, что обусловливает неопределенность математического описания структур.

В общем виде задача синтеза состоит в нахождении множества {P(A)} независимых переменных, для которых при принятых ограничениях критерий оптимальности:

f (P) = f (P1, P2, …, Pn)        min (max).

Переменные в задачах структурного синтеза характеризуют структуру сложной упаковочной системы и могут иметь различную интерпретацию: количество модулей каждого типа, геометрические размеры, природу входящих в структуру элементов, принципы реализации связей между элементами и т. д. То есть структура определяет конструкцию системы, ее основные части и то, как эти части связаны между собой.

Важным моментом является выбор критерия количественной оценки принимаемого решения (от греческого kriterion — «признак», «мерило»). Это могут быть производительность, капиталоемкость, экономический эффект, занимаемая производственная площадь и т. д. Задача структурного синтеза может быть многокритериальной и многошаговой с последовательным отсеиванием неперспективных вариантов.

Для решения задач оптимального структурного синтеза применяются так называемые «универсальные методы», учитывающие только комбинаторный характер формирования вариантов. Это полный перебор, сокращенный перебор, дискретное программирование и последовательные методы, основанные на направленной генерации множества вариантов с целью выбора наилучшего путем последовательного отсеивания неперспективных.

Полный перебор предполагает предварительный синтез всех возможных вариантов, генерация множества которых осуществляется на основе критического анализа имеющихся аналогов. Затем для каждого варианта рассчитываются значения показателей Pi (Ai) и производится выбор оптимального варианта структуры. Положительной особенностью полного перебора является просмотр всех возможных комбинаций, что обеспечивает высокую надежность принятого оптимального решения. Метод полного перебора оказался вполне приемлемым и эффективным при структурном синтезе упаковочных объектов небольшой сложности, допускающих построение полного множества возможных вариантов их структуры. Синтез весьма сложных производственных перерабатывающих и фасовочно-упаковочных интегрированных систем методом полного перебора может быть затруднительным из-за очень большого набора вариантов структуры.

Сокращенный перебор предусматривает просмотр локальных областей пространства варьируемых вариантов. Такая локализация осуществляется путем априорного сокращения характеристик оптимизируемой системы, например методом экспертных оценок.

По принципу выборки и организации поиска методы сокращенного перебора подразделяются на случайные и детерминированные. Первые основаны на случайном выборе варианта из множества возможных. К детерминированным относятся методы ветвей и границ, градиентный и его модификации.

Достаточно удобным и эффективным представляется метод дискретного линейного программирования. Применительно к выбору оптимального набора элементов x1, x2, …, xn в структуре сложной производственной системы задача линейного программирования формулируется следующим образом.

Минимизировать линейную целевую функцию, выражающую, например, суммарные затраты:

где ci — стоимость i-го элемента структуры; aij — затраты j-го вида ресурсов при использовании i-го элемента; bj — ограничения по j-му виду ресурсов.

Каждое из решений системы уравнений (2) и (3) принято считать возможным или допустимым. Оптимальным является решение, минимизирующее целевую функцию (1). Оптимальное решение задачи линейного программирования можно найти путем перебора допустимых базисных решений. Вычислительную процедуру такого перебора представляет симплекс-метод, относящийся к универсальным методам решения задач линейного программирования. Вычислительный процесс симплекс-метода является итерационным. Имеются стандартные программы выполнения вычислительной процедуры симплекс-метода на ЭВМ.

Параметрический синтез заключается в нахождения оптимальных значений параметров для выбранной структуры системы. Сущность задачи параметрического синтеза можно представить в виде m-мерного пространства Em управляемых входных параметров и k-мерного пространства Ek выходных параметров. Каждой точке пространства Em и Ek соответствуют векторы X и Y значений переменных входных и выходных параметров. Задача параметрического синтеза состоит в поиске оптимального вектора выходных параметров при обеспечении min (max) целевой функции и соответствующих ограничениях.

Ограничения могут быть критериальными и функциональными. Критериальные ограничения имеют смысл частных критериев оптимальности и характеризуют качество оптимизируемой производственной системы. К ним относятся ограничения на стоимость, энергопотребление, собственную массу и т. д. Функциональные ограничения включают условия работоспособности, имеющие большое значение при оценке правильности функционирования упаковочной техники.

Например, допустимые пределы температуры сварки пленки, предел точности дозирования и другие. Очевидно, что критериальные ограничения являются менее жесткими, чем функциональные. Список функциональных и критериальных ограничений составляет основную часть исходных положений параметрического синтеза упаковочной техники. Параметры условно принято разделять на внутренние, внешние и выходные. К внутренним относятся параметры отдельных элементов, составляющих систему. Внешние параметры характеризуются влияние внешней среды, например, напряжение электрического тока, давление сжатого воздуха, температура окружающей среды. Важнейшее значение имеют выходные параметры, отражающие основные технико-экономические показатели оптимизируемой системы, такие как производительность, стоимость, энергопотребление и другие. Между независимыми входными и зависимыми выходными параметрами имеется определенная функциональная связь, описываемая соответствующими математическими операторами. Математические методы решения задач оптимального параметрического синтеза это детерминированные методы направленного поиска, ветвей и границ, линейного программирования. Задача линейного программирования применительно к параметрическому синтезу формулируется аналогично рассмотренной выше и представленной выражениями (1), (2) и (3), в которых вместо набора структурных элементов присутствует набор выходных параметров.

Более эффективным на уровне параметрического синтеза представляется метод динамического программирования, основанный на следующем принципе оптимальности:

Оптимальное поведение обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения.

Для оптимизации выходного параметра yN(x) сложного процесса, состоящего из N операций производства и упаковки продукции, с параметрами x1, x2, …, xN, эффективность которых соответственно S1(x1), S2(x2), … SN(xN), можно записать:

 

yN(x) = f (x1, x2, …, xN) = S1(x1) + S2(x2) + … + SN (xN)

 

Сначала, согласно принципу оптимальности, следует установить оптимальные параметры на N-ой операции, затем на (N-1)-ой и т. д.

Пусть fN(x) выражает оптимальную эффективность (себестоимость, трудозатраы, расход энергии и прочее), образующуюся на N-ой операции данного процесса. Очевидно, что fN(0) = 0, f1(x1) = S1(x1) для x > 0. Тогда основное функциональное уравнение динамического программирования записывается в виде:

 

yN(x) = fN(x) = opt[SN(xN) + SN-1(xN-1)+ …

+ S1(x1)] = opt[SN(xN) +

fN-1(x-xN)] для N=2, 3 …

 

Решение задачи параметрического синтеза методом динамического программирования состоит в том, что многошаговая процедура оптимизации начинается с последней операции и на каждой предыдущей выбирается оптимальное решение, ведущее к оптимальному решению на последующей операции. Алгоритм и программа динамического программирования разработаны для практического применения вычислительной процедуры на ЭВМ. 

 

Виктор Каверин